Tư duy toán học không như bạn suy nghĩ
Giới thiệu
David Bessis bị lôi cuốn đến với toán học với cùng lý do mà nhiều người bị đẩy ra: Ông không hiểu nó hoạt động như thế nào. Không giống như các quá trình sáng tạo khác, như làm nhạc, có thể nghe được, hoặc vẽ tranh, có thể nhìn được, phần lớn toán học là một quá trình nội tại, ẩn khuất ngoài tầm nhìn. "Nghe có vẻ hơi ảo thuật. Tôi thấy hứng thú", ông nói.
Sự tò mò cuối cùng đã dẫn ông đến việc đeo đuổi việc lấy bằng tiến sĩ toán tại Đại học Paris Diderot vào cuối những năm 1990. Ông đã dành thập kỷ tiếp theo để nghiên cứu lý thuyết nhóm hình học trước khi rời bỏ nghiên cứu toán học và thành lập một công ty khởi nghiệp về học máy vào năm 2010.
Trong suốt quá trình đó, ông không ngừng đặt câu hỏi về ý nghĩa thực sự của việc làm toán. Bessis không thỏa mãn đơn giản với việc giải quyết vấn đề. Ông muốn tìm hiểu sâu hơn — và giúp những người khác hiểu — cách các nhà toán học suy nghĩ và thực hành nghề của họ.
Năm 2022, ông đã công bố câu trả lời của mình — một cuốn sách có tựa đề Matematica (Toán học): Thế giới bí mật của Trực giác và Tò mò, mà ông hy vọng sẽ "giải thích những gì diễn ra trong bộ não của một người đang làm toán", ông nói. Nhưng hơn thế nữa, ông nói thêm, "đây là một cuốn sách về trải nghiệm bên trong của con người". Nó đã được dịch từ bản gốc tiếng Pháp sang tiếng Anh vào đầu năm nay.
Trong Mathematica , Bessis đưa ra tuyên bố đầy khiêu khích rằng dù bạn có nhận ra hay không, bạn vẫn liên tục làm toán — và rằng bạn có thể mở rộng năng lực toán học của mình vượt xa những gì bạn nghĩ. Những nhà toán học lỗi lạc như Bill Thurston và Alexander Grothendieck không phải mang ơn thiên bẩm về việc có năng lực toán học khác thường, Bessis lập luận. Thay vào đó, họ trở thành những nhà toán học vĩ đại vì họ sẵn sàng liên tục đặt câu hỏi và tinh chỉnh trực giác của mình. Họ phát triển những ý tưởng mới và sau đó sử dụng logic và ngôn ngữ để kiểm tra và cải thiện chúng.
Tuy nhiên, theo Bessis, cách dạy toán ở nhà trường nhấn mạnh vào phần dựa vào logic của quá trình này, trong khi trực giác là yếu tố quan trọng hơn. Toán học cần được xem như là cuộc đối thoại giữa hai yếu tố: lý trí và bản năng, ngôn ngữ và trừu tượng. Đó cũng là một dạng thực hành vật lý đặc biệt, như yoga hoặc võ thuật — một thứ có thể được cải thiện thông qua rèn luyện. Nó đòi hỏi phải khai mở trạng thái trẻ thơ và chấp nhận trí tưởng tượng của con người, bao gồm cả những sai lầm đi kèm.
Bessis nói, mọi người đều có kinh nghiệm nào đó với quá trình này, nghĩa là mọi người đều thực hành suy nghĩ như một nhà toán học. Hơn nữa, mọi người đều có thể và nên cố gắng cải thiện tư duy toán học của mình — không nhất thiết để giải các bài toán, mà là một kỹ thuật phát triển bản thân.
Quanta đã nói chuyện với Bessis về việc các nhà toán học đã thực sự làm gì khi họ "làm toán" và ý nghĩa của toán học là một hình thức phát triển bản thân. Cuộc phỏng vấn đã được đúc kết và biên tập để rõ nghĩa hơn.
Tại sao bạn viết cuốn sách này?
Có lẽ trong 20 năm, tôi đã cố gắng và thất bại khi viết nó rất nhiều lần. Sau đó, vào năm 2020, tôi đọc lại những văn bản mà tôi đã đọc từ rất lâu trước đây — những tường thuật của các nhà toán học René Descartes, Alexander Grothendieck và William Thurston. Tôi nhận ra rằng ba người này, độc lập với nhau, đều kể cùng một câu chuyện theo những cách khác nhau. Câu chuyện đó cộng hưởng với những gì tôi đã trải qua. Sau khi nhận ra điều đó, cuốn sách đã hoàn toàn kết tinh chỉ trong vài tuần.
Điều chúng ta có thể học được từ Descartes, Grothendieck và Thurston là bản chất của quá trình toán học không phải như mọi người nghĩ.
Mọi người nghĩ gì?
Toán học là một loạt các ký hiệu được mã hóa trên một mẩu giấy. Đó là những gì đã được quảng bá là toán học trong nhiều thiên niên kỷ, vì đó là những gì mọi người nhìn thấy. Nhưng toàn bộ hành trình — cách bạn làm việc với mọi thứ trong tâm trí, cách toán học biến đổi bạn — đều là bí ẩn. Nó không phải là một phần của chương trình học.
Toán học là một dạng đối thoại giữa các quá trình bên ngoài và bên trong này. Đó là hoạt động sắp xếp biểu diễn bên trong của bạn — trực giác của bạn — với một số biểu diễn logic, bên ngoài. Bạn sử dụng một hình thức rất cứng nhắc, có vẻ điên rồ để kiểm tra trực giác của mình, để hiệu chỉnh lại, phát triển và củng cố nó cho đến khi bạn cảm thấy mình hiểu rõ về một điều gì đó.
Bạn khẳng định rằng mọi người đều đang âm thầm tính toán, ngay cả khi họ không nhận ra điều đó.
Bạn buộc họ phải nhận thức được quá trình đào tạo toán học của riêng họ. Bạn có thể thấy một vòng tròn trong tâm trí mình không? Bạn có thể làm cho nó to hơn, nhỏ hơn không? Bạn có thể di chuyển nó xung quanh không? Thật kỳ quái bạn biết đấy.
Hoặc giả sử tôi hỏi, "Một tỷ trừ một bằng mấy?" Tôi chưa từng gặp ai không có câu trả lời ngay lập tức trong đầu. Tôi phải nghĩ về điều đó khi tôi muốn nói to, nhưng tôi thấy được nó trong đầu mình. Và tôi nghĩ hầu hết mọi người đều như vậy. Ngay cả khi họ không nhìn thấy nó — đó không phải là nhận thức hiển thị — họ vẫn có cảm giác mạnh mẽ về kết quả.
Đây thực sự là trực giác toán học. Mọi người đều thấy rõ điều đó. Nhưng nó cũng mang tính lịch sử: 2.000 năm trước, không ai có thể dễ dàng trả lời câu hỏi này vì họ sử dụng số La Mã.
Nó chứng minh rằng những gì bạn coi là toán học rất dễ thực ra là toán học sâu sắc mà bạn đã tiếp thu. Bạn đã học một hệ thống số rất trừu tượng đã biến đổi trực giác của bạn về các con số. Nó giúp bạn thấy được những điều hoàn toàn hiển nhiên mà 2.000 năm trước sẽ khiến bạn phải giỏi như Einstein. Nó không được lập trình cứng. Bạn tự lập trình nó.
Vậy bạn có tin vào khái niệm thiên tài toán học không?
Sẽ là không trung thực nếu phủ nhận việc có những người cực kỳ giỏi toán. Có những đứa trẻ 5 tuổi đã là những nhà toán học thiên tài. Bạn có thể thấy điều này: Trông có vẻ giống như chúng đang giao tiếp với người ngoài hành tinh đến từ ngoài không gian.
Nhưng tôi không nghĩ đây là bẩm sinh, mặc dù nó thường biểu hiện ở thời thơ ấu. Thiên tài không phải là bản chất. Đó là một trạng thái. Đó là trạng thái mà bạn xây dựng bằng cách làm một công việc nhất định.
Toán học là một hành trình. Nó liên quan đến tính dẻo. Tôi không nói rằng toán học dễ. Toán học khó. Nhưng cuộc sống, bất kể bạn làm gì, đều cực kỳ khó khăn.
Nếu năng lực toán không phải là bẩm sinh mà là một quá trình, thì liệu có nghĩa là nếu rèn luyện, cuối cùng tôi có thể làm toán như Thurston không?
Không, không như Thurston. Tôi không nghĩ vậy. Nhưng có thể bạn sẽ làm tôi ngạc nhiên. Thurston đã kể chi tiết về cách ông quyết định thực hành loại tự giáo dục này mỗi ngày khi còn trẻ. Tôi không nghĩ bạn có thể theo kịp điều đó. Grothendieck và Descartes có lẽ đã bắt đầu từ rất sớm, thậm chí trước khi họ biết nói.
Ý tôi muốn nói là học sinh trung học thường không hài lòng với toán học, vì các em nghĩ rằng toán học đòi hỏi một số phẩm chất bẩm sinh mà các em không có. Nhưng điều đó không đúng; thực ra nó dựa trên cùng một thứ trực giác mà chúng ta sử dụng hàng ngày.
Vậy làm sao để giỏi toán hơn?
Bất cứ khi nào bạn phát hiện ra một ngắt quãng giữa những gì trực giác mách bảo bạn và những gì hợp lý, đó sẽ là một cơ hội quan trọng để hiểu một điều gì đó mới. Sau đó bạn có thể bắt đầu trò chơi này theo cả hai hướng. Bạn có thể diễn đạt trực giác của mình và đưa nó vào một cuộc thảo luận duy lý không? Nếu vẫn còn sự ngắt quãng, bạn có thể hình dung được lý do tại sao không? Khi bạn chơi trò chơi đó, trí tưởng tượng của bạn sẽ dần dần được định hình lại. Và cuối cùng, nếu bạn kiên trì, bản năng và lý trí của bạn sẽ thống nhất, và bạn sẽ thông minh hơn. Đó là tư duy toán học.
Người ta có thể đạt được lợi ích gì khi cải thiện tư duy toán học?
Niềm vui, sự sáng suốt và sự tự tin.
Trẻ em luôn làm như vậy. Đó là lý do tại sao chúng học rất nhanh. Chúng phải làm vậy. Nếu không, ý tôi là, chẳng có gì có ý nghĩa. Tôi nghĩ đây cũng là lý do tại sao trẻ sơ sinh cực kỳ vui vẻ — vì chúng được khai ngộ suốt ngày. Thật tuyệt vời.
Đối với người lớn, cách tư duy này có thể rất chậm chạp. Nhưng nếu bạn không từ bỏ nó, những gì bạn có thể làm với trực giác của mình sẽ vượt xa những kỳ vọng điên rồ nhất của bạn. Và điều này là phổ quát. Cuốn sách của tôi là bài học thực tế cho tất cả những người sáng tạo, không chỉ cho những người muốn học các khái niệm toán học. Thông điệp của nhà toán học dành cho tất cả mọi người: Hãy xem những gì bạn có thể làm nếu bạn không từ bỏ trực giác của mình.
Bạn có coi đây là một cuốn sách tự phát triển bản thân không?
Tôi thực sự cực đoan hơn khi chỉ nói rằng đây là một cuốn sách phát triển bản thân. Tôi muốn nói rằng, theo một cách nào đó, toán học tự nó là một kỹ thuật phát triển bản thân.
Tại sao vậy?
Các nhà toán học phải trung thực triệt để về những gì họ không hiểu và những gì họ nghĩ. Điều đó có thể giúp họ thấy, chẳng hạn, rằng một đối tượng bị định nghĩa sai cách. Hoặc một định nghĩa khác sẽ làm cho lý thuyết trở nên đơn giản hơn. Hoặc rằng khái niệm này không quan trọng, mà khái niệm khác mới quan trọng.
Có điều gì đó về sự trung thực, về việc thẳng thắn một cách triệt để, về việc cố gắng tìm cách diễn đạt những gì bạn thực sự cảm thấy — điều đó cực kỳ khó. Cần phải thực hành.
Khi bạn làm toán, bạn được tiếp xúc với quá trình suy nghĩ của con người theo cách thực sự thuần khiết. Không chỉ là hiểu mọi thứ, mà là hiểu mọi thứ theo cách rất trẻ thơ, sâu sắc, ngây thơ, siêu rõ ràng, hiển nhiên. Đó là cách rèn luyện rất tốt cho sự sáng tạo. Đó là một giàn giáo cho trí tưởng tượng của bạn.
Khi nhìn lại cuộc sống của chính mình và cách tôi vượt qua những thách thức cá nhân, tôi nhận ra rằng khả năng suy nghĩ theo hướng toán học của tôi đã giúp ích. Về mặt cảm xúc, tất cả chúng ta đều cần toán học.
Texvn tham khảo từ nguồn Ai Việt
Aiviet Nguyen - Jan 06, 2025
