Giới thiệu Cuốn sách Mathematica: Thế giới bí mật của Trực giác và Tò mò của David Bessis

I. Ba Điều Bí Ẩn

1. Mục đích của cuốn sách này là thay đổi cách bạn nhìn thế giới.

Nó dựa trên hành trình cá nhân của tôi, một cuộc phiêu lưu dài đã thay đổi tôi về mặt thể chất và ban cho tôi sức mạnh thần kỳ. Nhưng hành trình này không chỉ của riêng tôi. Đó là một hành trình tập thể, một trong những hành trình cổ xưa và mạnh mẽ nhất từ trước đến nay. Bắt đầu từ lúc bình minh của thời gian bởi một nhóm người, cho đến tận ngày nay, nó vẫn tiếp tục thay đổi nền văn minh, ngôn ngữ và tư duy của chúng ta.

Có bao nhiêu người trong chúng ta cảm thấy toán học sống động và lớn lên bên trong chính chúng ta? Tôi không biết. Tôi chỉ biết rằng chúng ta là một nhóm thiểu số nhỏ bé và câu chuyện của chúng ta vẫn chưa được hiểu rõ.

Toán học thường bị cho là khó tiếp cận. Bạn phải là người ưu tú mới có thể nhận được một món quà đặc biệt này. Các nhà toán học vĩ đại nhất đã viết rằng điều đó không đúng. Những gì họ đã đạt được, như chúng ta sẽ thấy, họ tuyên bố đã đạt được thông qua các phương tiện thông thường của con người, là sự tò mò và trí tưởng tượng, sự nghi ngờ và điểm yếu của họ.

Chẳng ai muốn tin họ. Có lẽ họ không biết cách kể câu chuyện của mình bằng ngôn ngữ đủ đơn giản. Hoặc có lẽ họ đã đánh giá thấp sức mạnh của huyền thoại mà họ đặt nghi vấn, một trong những huyền thoại vĩ đại cuối cùng của loài người: huyền thoại về trí thông minh.

Toán học định hình thế giới của chúng ta. Nó là một công cụ của quyền lực và sự thống trị. Nhưng đối với những người sống trong nó, toán học trước hết là một trải nghiệm tâm hồn, một cuộc truy tìm cảm xúc và tâm linh.

Trải nghiệm này không liên quan nhiều đến những gì chúng ta được dạy ở trường. Theo những cách nhất định, nó là một dạng thấu thị, của tư duy ngoại cảm. Theo những cách khác, nó là sự hồi sinh của hiện tượng bí ẩn đã từng cho phép chúng ta học nói khi còn thơ ấu.

Hiểu toán học là đi trên một con đường bí mật đưa chúng ta trở lại với khả năng dẻo dai về mặt tinh thần mà chúng ta từng có khi còn nhỏ. Đó là việc tìm cách kích hoạt lại và thuần hóa được khả năng dẻo dai đó. Đó là lựa chọn đưa nó trở lại cuộc sống. Con đường trí tuệ này gần giống một cách đáng ngạc nhiên với con đường mà chúng ta thực hiện trong cuộc sống hàng ngày. Nhưng lối vào của nó lại bị che giấu, ẩn sau những thói quen, sau nỗi sợ hãi và sự ức chế của chúng ta. Tôi muốn giúp bạn tìm ra con đường này.

2. Phải Có Điều Gì Khác

“Tôi không có tài năng đặc biệt nào. Tôi chỉ tò mò một cách say mê.”

Khi tôi mười lăm tuổi, tôi ghét câu trích dẫn này của Einstein. Với tôi, nó nghe có vẻ giả tạo, không chân thành, giống như một siêu mẫu nói rằng điều thực sự quan trọng là vẻ đẹp bên trong. Chúng ta có thực sự cần nghe những điều này không?

Tuy nhiên, thông điệp chính của cuốn sách này là hãy nghĩ nghiêm túc về lời nói của Einstein.

Khi suy nghĩ về điều này, thật đáng ngạc nhiên khi chúng ta lại thấy khó nghiêm túc với lời nói của ông đến thế. Einstein bị mang tiếng là một kẻ ngốc hoàn toàn hay một kẻ cố tình nói dối. Nếu bạn hỏi mọi người trên phố, họ sẽ nói rằng thuyết tương đối của ông là một trong những đóng góp vĩ đại cho tư tưởng của loài người. Do đó, những gì Einstein nói và viết ra xứng đáng được chúng ta chú ý.

Nhưng khi ông gợi ý rằng sự sáng tạo của ông có thể tiếp cận được cho những người khác, rằng nó đơn giản chỉ xuất phát từ một cách tiếp cận hơi khác mà bất kỳ ai cũng có thể thực hiện, chúng ta sẽ thấy khó tin ông. Ông cụ tội nghiệp không biết mình đang nói gì. Hoặc tệ hơn, đó là sự khiêm tốn giả tạo, và ông ấy nói vậy chỉ để khoe khoang.

Vấn đề là khi bạn từ chối xem tuyên bố của Einstein là nghiêm túc, bạn đã cắt đứt cuộc trò chuyện—một cuộc trò chuyện đáng được theo đuổi.

Tuyên bố của Einstein về mặt khách quan là hấp dẫn nhưng thực sự không nói lên nhiều điều. Giả sử nó đúng. Chúng ta phải làm gì với nó? Nó có thể giúp chúng ta như thế nào? Nếu không có bất kỳ chi tiết cụ thể hoặc lời khuyên thực tế nào, thật khó để học được điều gì từ nó.

Thật đáng ngạc nhiên khi không ai đủ tỉnh táo để trả lời, "Albert, những gì ông vừa nói thực sự thú vị, nhưng chúng tôi muốn biết thêm. Ông có thể giải thích cho chúng tôi không? Chúng tôi muốn biết những chi tiết bí mật, để biết cách ông đã thực sự làm điều đó. Ông có muốn uống cà phê không? Hay có thể đi dạo trong rừng? Hãy kể hết đi; chúng tôi có rất nhiều câu hỏi!"

3. Những câu hỏi đầu tiên tôi muốn đặt ra khá là vô nghĩa:

Albert, sự tò mò của ông đến từ đâu?

Tôi không biết nhiều người tò mò đến mức nhốt mình trong phòng và suy ngẫm về các vấn đề trong vật lý lý thuyết. Nhưng tôi biết một số người, và tất cả họ đều nói cùng một điều: nếu họ nhốt mình trong phòng và nghiên cứu các vấn đề trong vật lý lý thuyết, tất nhiên một phần là do tham vọng khoa học, nhưng chủ yếu là vì họ thực sự thích thú với việc đó.

Vậy câu hỏi đặt ra là: Albert, ông có được niềm vui khi nghiên cứu vật lý như thế nào?

Làm thế nào để anh không nản lòng?

Tò mò một cách say mê có nghĩa là có khả năng quan tâm đến mọi thứ với một cam kết không lay chuyển, với cường độ và sự bền bỉ không bao giờ lơi lỏng. Einstein rõ ràng đã tìm ra một phương tiện bí mật để không bỏ cuộc khi những người khác đã chùn bước. Bí quyết của ông là gì?

Nghiên cứu toán học thuần túy đã dạy cho tôi một điều cốt yếu: khi bạn nhốt mình trong phòng với một bài toán khó, bạn chỉ có một mong muốn: thoát khỏi nó càng nhanh càng tốt.

Thật đáng sợ khi đạt đến giới hạn trí thông minh của mình, cố gắng vô ích, vật lộn trong nhiều tháng, cảm thấy quá ngu ngốc để hiểu và không biết cách vượt qua.

Einstein đã tìm ra cách chế ngự nỗi sợ hãi và chống lại sự thôi thúc muốn chạy trốn. Ông đã làm điều đó như thế nào?

Khi bạn ở một mình trong phòng với một vấn đề, chính xác thì điều gì đang diễn ra?

Hoặc, nói rõ hơn: Einstein đã làm gì với vấn đề đó? Ông đã có được nó như thế nào? Ông đã nghịch ngợm với điều gì?

Có vẻ ngớ ngẩn khi sử dụng ngôn ngữ tầm thường như vậy, nhưng hãy thành thật mà nói: điều chúng ta thực sự muốn biết là những chi tiết hấp dẫn. Chúng ta muốn biết điều gì thực sự diễn ra trong đầu Einstein. Chúng ta muốn biết ông thực sự đã làm điều đó như thế nào. Chúng ta muốn biết kỹ thuật của Einstein, phép thuật bí mật của ông luôn hiệu quả.

Chúng ta biết rằng sự sáng tạo về mặt trí tuệ không chỉ là vấn đề bạn làm bao nhiêu việc. Chúng ta biết rằng phải có một điều gì đó khác, một thành phần bí mật, một điều gì đó bí ẩn mà thậm chí chưa từng được đề cập đến ở trường.

Nếu Einstein dành thời gian để dạy chúng ta phương pháp đạt được những khám phá khoa học vĩ đại của ông, thì đóng góp của ông cho nhân loại ắt sẽ còn vượt xa công trình vật lý của ông. Như câu nói, cho ai đó một con cá và ngày mai họ lại đói; dạy họ cách câu cá và họ sẽ có thức ăn cho cả đời.

Nhưng cuộc thảo luận này đã không bao giờ diễn ra. Nó sẽ không bao giờ diễn ra. Albert Einstein qua đời vào ngày 18 tháng 4 năm 1955, tại Trung tâm Y tế Đại học Princeton. Bản thân bác sĩ thực hiện khám nghiệm tử thi cũng rất háo hức khám phá bí mật về thiên tài của Einstein đến nỗi, không có sự đồng ý của gia đình, ông ta đã lấy não ra và cắt nó thành hàng nghìn mảnh.

Ông ta đã chẳng học được nhiều điều từ việc đó.

II. Phương Pháp

Vấn đề này, tuy nhiên, vượt xa hơn Einstein. Nó đã kéo dài qua nhiều thế kỷ. Nó liên quan đến những niềm tin sai lầm của chúng ta, những quan niệm sai lệch về trí thông minh và sự sáng tạo, cũng như mức độ mà những niềm tin sai lầm này giới hạn chúng ta.

Điều khó khăn nhất trong việc hiểu công trình của Einstein chính là hình thức toán học. Đây cũng chính là điều gây khó khăn lớn nhất cho chính Einstein, như ông đã thú nhận với một học sinh trung học khi được hỏi xin lời khuyên: “Đừng lo lắng về những khó khăn của bạn trong toán học. Tôi có thể đảm bảo với bạn rằng khó khăn của tôi còn lớn hơn.”

Bốn trăm năm trước, nhà toán học vĩ đại nhất thời đó đã viết về cuộc đời mình trong một cuốn sách mà kể từ đó trở nên nổi tiếng. Thông điệp của ông rất rõ ràng ngay từ đầu. Nó có thể được tóm tắt như sau: “Tôi không thông minh hơn bất kỳ ai khác. Tôi chỉ tình cờ phát hiện ra một phương pháp kỳ diệu cho phép tôi trở nên giỏi hơn bất kỳ ai. Tôi sẽ kể cho bạn nghe cách tôi làm được điều đó.”

Phản ứng thường thấy, khiến chúng ta khó mà coi trọng những lời của Einstein, cũng chính là thứ ngăn chúng ta hiểu những gì nhà toán học này (René Descartes) đang cố gắng nói với chúng ta, và ngăn chúng ta đặt cuốn sách của ông (Diễn từ về Phương pháp) vào đúng chỗ: trong phần sách về tự hoàn thiện bản thân.

Có một sự đồng thuận rằng không hề có phương pháp nào để trở thành một nhà toán học vĩ đại, giống như không có cách nào để giảm cân chỉ bằng cách uống sữa lắc, hay làm giàu bằng cách làm việc tại nhà hai giờ một tuần.

Tuy nhiên, Descartes lại nói với chúng ta điều hoàn toàn ngược lại.

1. Ba Niềm Tin Sai Lầm

Chúng ta sẽ nói thêm về Diễn từ về Phương pháp trong chương 14, nhưng để hiểu những gì Einstein và Descartes đang cố gắng nói với chúng ta, trước tiên chúng ta cần loại bỏ ba niềm tin phổ biến về toán học:

2. Để làm toán, bạn cần suy nghĩ một cách logic.

Một số ít người trong chúng ta có khả năng tự nhiên về con số, và một số ít khác có trực giác hình học tốt. Thật không may, phần lớn mọi người không hiểu gì về toán học và không thể làm gì để thay đổi điều đó.

Những nhà toán học vĩ đại được sinh ra với một bộ não hoàn toàn khác biệt so với chúng ta.

Trước tiên, chúng ta nên làm rõ điều thứ nhất: Không, các nhà toán học không suy nghĩ một cách logic. Thực tế, việc suy nghĩ một cách logic là điều hoàn toàn không thể. Logic hoàn toàn không giúp ích gì trong việc suy nghĩ. Chúng ta sẽ thấy sau đó nó được dùng để làm gì.

Sai lầm thứ hai thực sự là độc hại. Nó có sức mạnh khiến chúng ta bị kìm hãm một cách vô vọng. Sai lầm này thậm chí đã thuyết phục được phần lớn nhân loại rằng toán học là một lãnh địa xa lạ và nguy hiểm. Đối với mỗi chúng ta, kể cả những người "có năng khiếu" nhất, sai lầm này áp đặt một giới hạn không thể vượt qua, đó là trực giác toán học mà mỗi người được "trời phú" một cách tự nhiên.

3. Toán Học Chính Thức và Toán Học Bí Mật

Einstein thường nói về tầm quan trọng của trực giác trong các khám phá của ông. "Tôi tin vào trực giác và cảm hứng," ông nói, và ông hoàn toàn nghiêm túc khi nói điều này. Còn đối với các nhà toán học, họ biết rất rõ rằng có hai loại toán học khác nhau.

Toán học chính thức có thể được tìm thấy trong các sách giáo khoa, nơi nó được trình bày một cách logic và có cấu trúc, bằng ngôn ngữ bí hiểm dựa trên các ký hiệu khó hiểu.

Toán học bí mật, hay còn gọi là trực giác toán học, nằm trong đầu của các nhà toán học. Nó bao gồm các hình dung tinh thần và cảm nhận trừu tượng, thường là trực quan, mà đối với họ rất rõ ràng và mang lại nhiều niềm vui. Nhưng khi chia sẻ những cảm nhận này với thế giới bên ngoài, các nhà toán học thường cảm thấy lúng túng. Điều từng hiển nhiên với họ bỗng nhiên trở nên kém rõ ràng hơn.

Để chuyển tải ý tưởng của mình, các nhà toán học phải phát minh ra ngôn ngữ bí hiểm đó cùng với những ký hiệu khó hiểu, giống như các nhạc sĩ phải phát minh ra hệ thống ký âm phức tạp để ghi lại các tác phẩm của họ. Nhưng nhạc sĩ có một lợi thế thực tiễn to lớn: họ chỉ cần biểu diễn bản nhạc của mình để mọi người lập tức hiểu nó mà không cần giải mã bản ký âm.

Các nhà toán học không có lựa chọn này, và đó là một vấn đề lớn đối với họ. Trong tâm trí họ, các ý tưởng rực rỡ, đơn giản và mạnh mẽ. Trên giấy, chúng trở nên méo mó và ảm đạm. Lời nguyền của các nhà toán học là họ chỉ có thể "biểu diễn" toán học trong chính đầu mình.

Nếu bạn dạy trẻ em về âm nhạc bằng cách đưa cho chúng bản ký âm của Mozart hoặc Michael Jackson để giải mã mà không bao giờ cho chúng nghe bài nhạc đó, âm nhạc cũng sẽ bị ghét bỏ như toán học.

Trực giác là linh hồn của toán học. Không có trực giác, toán học trở nên vô nghĩa. Nhưng đừng vì thế mà kết luận rằng nếu bạn không hiểu gì về toán học thì không có cách nào thay đổi điều đó.

Sai lầm nằm ở chỗ tin rằng trực giác toán học của chúng ta là một cái gì đó cố định, một giới hạn không thể vượt qua. Trực giác mà chúng ta có về các đối tượng toán học không phải là bẩm sinh. Nó không cố định. Chúng ta có thể xây dựng nó, làm cho nó mạnh mẽ hơn mỗi ngày, miễn là chúng ta theo đúng phương pháp.

Các nhà toán học biết rõ rằng toán học chính thức không kể hết câu chuyện. Họ biết rằng mục tiêu thực sự là hiểu những gì trong sách, để nhìn thấy, để cảm nhận nó. Công việc hàng ngày của các nhà toán học là phát triển trực giác của họ, làm cho nó phong phú hơn, rõ ràng hơn, và mạnh mẽ hơn. Thậm chí còn hơn cả các ấn phẩm và công trình chính thức, trực giác của các nhà toán học là kiệt tác của họ, là thành tựu cả đời của họ.

Nghệ thuật phi thường này—thấy được cái không thể thấy, cảm nhận được cái không thể cảm nhận, hiểu ở mức độ sâu sắc nhất đến mức nó trở nên hiển nhiên—là nghệ thuật vĩ đại và bí mật thực sự của các nhà toán học. Chỉ những ai làm chủ được nghệ thuật này mới biết nó có thể dẫn đến đâu.

Nhưng họ làm thế nào? Đó là nội dung của cuốn sách này.

Hiểu lầm thứ ba chỉ là một biến thể đơn giản của chủ đề này: để trở thành như Einstein hay Descartes, bạn phải được sinh ra như vậy; bạn không thể đạt được điều đó bằng cách cố gắng. Và khi Einstein hay Descartes nói khác đi, họ chỉ đang chế giễu chúng ta mà thôi.

Quan điểm cho rằng chúng ta không thể trở nên giỏi toán học là sai lầm, nhưng nó bắt nguồn từ một sự thật cơ bản: sức mạnh kỳ diệu của các nhà toán học không nằm ở logic mà ở trực giác.

4. Ba Bí Mật Của Các Nhà Toán Học

Làm toán là một hoạt động mang tính thể chất. Để có thể hiểu được những gì bạn chưa hiểu, bạn phải thực hiện những hành động cụ thể trong đầu mình. Những hành động này tuy vô hình nhưng không thể thiếu. Chúng nhằm mở rộng trực giác của bạn và phát triển các hình dung tinh thần mới, sâu sắc hơn và mạnh mẽ hơn. Trong ngắn hạn, hoạt động này có thể gây mệt mỏi, nhưng về lâu dài, nó làm bạn mạnh mẽ hơn một cách đáng kinh ngạc. Học toán cũng giống như học đi, bơi, nhảy múa hay đi xe đạp. Những hành động vô hình này không phải là bẩm sinh, nhưng tất cả chúng ta đều có khả năng học chúng.

Có một cách để giỏi toán. Phương pháp này chưa bao giờ được dạy ở trường. Nó không giống bất kỳ phương pháp học thuật nào và đi ngược lại các nguyên tắc giáo dục truyền thống. Phương pháp này cố gắng làm cho mọi thứ dễ dàng hơn thay vì khó khăn hơn. Bạn có thể so sánh nó với thiền định, yoga, leo núi, hoặc võ thuật. Nó bao gồm các kỹ thuật để vượt qua nỗi sợ hãi, chế ngự phản ứng né tránh trước cái chưa biết, và tìm thấy niềm vui trong việc bị phản bác. Phạm vi thực sự của phương pháp này rộng hơn cả toán học; đó là một phương pháp phổ quát để lập trình lại trực giác của chúng ta, và theo nghĩa đó, là một phương pháp để trở nên thông minh hơn.

Não bộ của các nhà toán học vĩ đại hoạt động giống như chúng ta. Không nghi ngờ gì rằng năng khiếu toán học tự nhiên, giống như bất kỳ năng khiếu thể chất nào khác, không được phân bổ đều giữa các cá nhân. Nhưng những khác biệt sinh học này đóng vai trò nhỏ hơn nhiều so với mọi người nghĩ.

Hiện tượng xuất hiện những tài năng toán học phi thường, những người từ nhỏ đã có khả năng vượt trội so với bạn bè, thường được coi là do bẩm sinh. Nhưng khoảng cách năng lực cần giải thích là quá lớn để chỉ do di truyền. Thay vào đó, thói quen tinh thần tốt và thái độ tâm lý đúng đắn có thể giúp bạn cải thiện gấp tỷ lần trong toán học.

5. Truyền Thống Truyền Miệng

Toán học thường được định nghĩa là việc nghiên cứu các con số, hình dạng và các loại cấu trúc trừu tượng khác. Một số khác lại định nghĩa nó qua các khía cạnh hình thức: các ký hiệu và công thức, các tiên đề và định lý, cùng việc sử dụng logic một cách hệ thống. Tuy nhiên, một số định nghĩa cẩn thận hơn thường thêm một lời cảnh báo kỳ lạ: không ai thực sự biết cách định nghĩa toán học.

Chẳng hạn, tại thời điểm tôi viết những dòng này, trang Wikipedia mục "Toán học" cho biết rằng "không có sự đồng thuận chung giữa các nhà toán học về một định nghĩa chung cho ngành học thuật này."

Tuy nhiên, một thông điệp quan trọng của cuốn sách này là: có một sự đồng thuận ngầm giữa các nhà toán học về việc làm toán nghĩa là gì và cảm giác khi làm toán ra sao. Toàn bộ cuốn sách này có thể được xem như một nỗ lực ghi chép lại sự đồng thuận không được nói ra này và "rò rỉ" nó đến công chúng.

Nếu sự đồng thuận này được chuyển thành một định nghĩa, thì nó sẽ không mô tả toán học qua những gì nó nghiên cứu, mà là một hoạt động của con người với bản chất đặc biệt. Trong khi đó, toán học vẫn là môn học duy nhất được dạy rộng rãi mà không ai đồng ý về bản chất thực sự của nó, dẫn đến những hệ quả thực sự kỳ lạ.

Ví dụ, nhiều nhà toán học đã nói về cảm giác rằng họ tự học toán. Điều này thật nghịch lý khi xét đến vai trò nổi bật của toán học trong chương trình giảng dạy. Tất nhiên, họ không thực sự tự học, vì họ đã học được rất nhiều ở trường. Nhưng họ tự học theo nghĩa rằng những điều quan trọng nhất không được dạy trong trường học.

Tôi là một trong những người tự học đầy nghịch lý đó. Tôi học những điều cơ bản về toán học chính thức ở trường. Đồng thời, mà không ai dạy tôi, tôi đã khám phá ra những nền tảng của toán học bí mật.

Trong một thời gian dài, tôi không ý thức được mối liên hệ giữa những hành động vô hình mà tôi thực hiện trong đầu và khả năng giỏi toán của mình. Nó đơn giản chỉ là một thói quen mà tôi đã hình thành, một cách đặc biệt để sử dụng trí tưởng tượng của mình.

Tôi sẽ nói thêm sau về những bài tập tưởng tượng mà tôi bắt đầu thực hiện từ khi còn nhỏ. Ban đầu, chúng chỉ là những trò chơi vô hại. Chẳng hạn, tôi thích thú với việc đi vòng quanh phòng với mắt nhắm trong khi cố gắng nhớ bố trí của đồ nội thất. Điều này có liên quan gì đến những gì tôi học ở trường?

Thậm chí, tôi không phải là người giỏi đặc biệt. Tôi thường đụng vào tường. Tôi chưa bao giờ tưởng tượng rằng trò chơi này, cùng những trò ngày càng khó hơn, sẽ giúp tôi phát triển, từ một mức độ tương tự như mọi người, một trực giác hình học đặc biệt mạnh mẽ.

Trực giác hình học này đã trở thành vũ khí bí mật trong sự nghiệp toán học của tôi. Tôi bắt đầu nhìn thấy những điều mà không ai khác nhìn thấy, giải quyết những vấn đề mà không ai khác giải quyết được.

Chỉ đến sau này, khi trò chuyện với các nhà toán học khác và đọc những câu chuyện về các nhà toán học nổi tiếng, tôi mới nhận ra rằng trải nghiệm của mình không hề độc nhất.

Trong khi kiến thức chính thức đã được ghi chép lại trong sách giáo khoa, nghệ thuật bí mật của các nhà toán học vẫn là một truyền thống truyền miệng, được truyền từ thế hệ này sang thế hệ khác. Nó tiết lộ những điều không ai dám viết vào sách, vì chúng dường như không đủ nghiêm túc, không phải khoa học, và quá giống với việc tự hoàn thiện bản thân.

Câu chuyện này xứng đáng được kể lại bằng ngôn ngữ đơn giản và dễ hiểu, vì nó liên quan đến tất cả chúng ta, dù bạn giỏi hay dở toán, trẻ hay già, có thiên hướng nghệ thuật hay khoa học. Nó nói về sức mạnh của chúng ta hơn là điểm yếu, về tài năng ẩn giấu và những gì chúng ta có thể đạt được.

Toán học là một cuộc phiêu lưu nội tại, bí mật và lặng lẽ. Nhưng đó là một cuộc phiêu lưu phổ quát, một hành trình vào chiều sâu của trí tuệ, ý thức, và ngôn ngữ con người.

Trong các cuộc trò chuyện riêng giữa các nhà toán học, khi không có ai nghe lén, họ mới có thể nói về cách họ thực sự nhìn nhận mọi thứ. Đúng vậy, toán học đáng sợ. Đúng vậy, nó có thể có vẻ khó hiểu. Đúng vậy, nó khiến bạn cảm thấy như mình sẽ không bao giờ hiểu nổi. Nhưng, có một con đường để bạn đạt được điều đó.

III. Tổng Thuật Và Bình Luận

Cuốn sách này nhằm thay đổi cách nhìn nhận thế giới và tư duy của bạn, đặc biệt là về tư duy toán học, một cách tư duy dựa trên một niềm tin gần như niềm tin thần số là toán học có thể gắn với các thực tế hiện hữu. Nói một cách khác, các con số, ký hiệu toán học có một ý nghĩa thiêng liêng như các lời kinh. Nếu như vậy, làm toán có ý nghĩa như một quá trinh mặc khải. David Bessi đưa ra các quan sát về kinh nghiệm nội tại của ông, và cố gắng khám phá hành trình tập thể về trí tuệ, cảm xúc, và tâm linh liên quan đến toán học.
Nhận xét đầu tiên của Bessi dường như trái ngược với quan điểm trực giác sử dụng trong Toán học là sự mặc khải. Sự mặc khải thường được hiểu là liên quan trới thông linh, khi một con người cụ thể kết nối được với Ý thức vũ trụ. Khi đó các dòng thông tin được đổ về, chứ không phải hình thành tại chỗ bằng Ý thức và tư duy suy diễn logic. Trong khi đó Bessi lại thấy rằng, toán học là kết quả của thao tác rèn luyện thể chất mà mỗi người bình thường đều thực hiện. Ông nhắc tới các quan điểm của Einstein và Descartes phủ nhận việc coi toán học là khó tiếp cận và chỉ dành cho những người xuất chúng. Toán học không chỉ là logic hay bẩm sinh mà dựa vào sự tò mò, trí tưởng tượng, và thậm chí cả những điểm yếu con người.
Bessi cho rằng tri thức Toán học chủ yếu hình thành nhờ cốt lõi là Trực giác. Tuy nhiên, khác với quan niệm Tâm linh phổ biến, ông cho rằng Trực giác không cố định hay bẩm sinh mà có thể phát triển và rèn luyện qua các hành động và bài tập cụ thể. Trực giác cho phép nhà toán học "thấy" và cảm nhận các khái niệm trừu tượng, điều mà toán học chính thức không thể truyền tải hoàn toàn. Nói một cách khác, tư duy Toán học chính là Trực giác để hình thành các ý niệm từ các định lý, chứng minh, ký hiệu, công thức, chứ không phải bản thân các định lý, chứng minh, ký hiệu và công thức đó. Câu hỏi đặt ra ở đây là Trực giác là duy nhất hay có hai loại Trực giác, cái do Bessi nhận thức được từ kinh nghiệm của ông với Toán học và cái mà các nhà Tâm linh thường nói tới. Nếu hai loại này là một hay có phần chung, chúng ta có thể có những hệ luận rất mạnh mẽ.
Từ đó suy ra có hai loại toán học chính thức và toán học bí mật. Toán học chính thức là những gì ghi lại trong sách giáo khoa, sử dụng ký hiệu và ngôn ngữ phức tạp. Toán học bí mật dựa trên trực giác, sự tưởng tượng và trải nghiệm cá nhân của nhà toán học, thường không được dạy trong trường học. Đó mới là những gì các nhà Toán học làm thường xuyên. Nghệ thuật bí mật của toán học được truyền miệng qua các thế hệ, không được viết vào sách vì bị coi là không đủ nghiêm túc. Toán học là một cuộc hành trình nội tâm và phổ quát, khám phá chiều sâu trí tuệ, ngôn ngữ và ý thức con người.
Quan điểm tiếp theo của Bessi cho rằng, hành trình nội tâm này không chỉ dành riêng cho những người được chọn. Ông đồng ts với Einstein cho rằng sự sáng tạo không phải do bẩm sinh mà do cách tiếp cận đơn giản và có thể học được. Ý kiến của Einstein thường bị hiểu lầm là khiêm tốn giả tạo, hoặc cao ngạo đến mức đỏng đảnh với tư duy. Điều đó dẫn đến việc không ai đặt vấn đề tìm hiểu chi tiết cụ thể về phương pháp sáng tạo của ông.
Phương pháp và thực hành tư duy là yếu tố cốt lõi giúp vượt qua giới hạn trí tuệ và phát triển khả năng toán học. Việc khám phá phương pháp này không chỉ cải thiện kỹ năng toán học mà còn nâng cao trí tuệ và sự sáng tạo. Chúng ta có thể bắt đầu bằng các câu hỏi "Làm thế nào Einstein duy trì sự tò mò và niềm vui khi nghiên cứu?" "Ông đã vượt qua sự nản lòng và sợ hãi thất bại ra sao?", "Những chi tiết cụ thể về cách Einstein giải quyết vấn đề là gì?"
Quan điểm của Bessi có một số yếu tố trùng với quan điểm của Giáo dục Hướng Dương. Trước hết mục tiêu của Giáo dục và Học Tập là hướng tới Hạnh phúc. Con người biết thế nào là hạnh phúc và biết cách đạt tới hạnh phúc sẽ trả lời dễ dàng các câu hỏi trong phần 6. Tôi đã nói ở Cà phê Thứ Bảy khi Trò chuyện với phụ huy "Trí tuệ không phải là năng lực mà là phẩm hạnh". Giáo dục Hướng Dương cũng khẳng định rằng quá trình sáng tạo không phải là một quá trình suy diễn, nhà khoa học không phải là cỗ máy suy diễn. Giáo dục Hướng Dương cũng cho rằng có những bí mật về quá trình nhận thức cần được khám phá và chia sẻ để mọi người đều có thể vươn tới trí tuệ.
Bessi cho rằng Einstein đã thực thi một quy trình như thế, nếu được khám phá lại được truyền dạy, đóng góp này sẽ vượt xa cả các khám phá khoa học của Einstein

Aiviet Nguyen - Jan 04, 2025